Comment trouver des dérivés étape par étape

Le calcul est l'une des matières les plus difficiles en mathématiques. Il aborde deux concepts principaux : la différenciation et l'intégration. La différenciation est le processus consistant à déterminer la vitesse à laquelle une fonction change à un moment donné. 

D'un autre côté, l'intégration consiste à trouver l'accumulation totale de quantité, telle que l'aire sous la courbe. On l'appelle également primitive. Si la différenciation est comme trouver la pente d'une courbe, alors trouver une primitive, c'est comme retrouver la fonction d'origine dont la pente vous donnerait la courbe en question.

Cet article vise à vous guider tout au long du processus de recherche de primitives. Avant de plonger dans ce processus, il est important de comprendre clairement les bases des primitives.

Qu'est-ce qu'une primitive ?

Une primitive est le processus d'annulation de la dérivée. En d'autres termes, si F'(x) = f (x), alors F (x) est une primitive de f (x). expliquons cela avec un exemple :

Considérons la fonction f (x) = 2x. La fonction F (x) = x2 est une primitive de f (x) car d / dx (x2) = 2x. 

Notation

Le symbole de l'intégration est ∫. La constante d'intégration est représentée par la C. C'est une partie importante de la primitive. Cette constante représente le fait qu'il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée, toutes différant par une constante.

L'idée fondamentale de la recherche de primitives est d'inverser le processus de différenciation. Si vous savez comment différencier une fonction, vous pouvez calculer la primitive en réfléchissant à quelle fonction vous donnerait la fonction originale une fois différenciée.

Règles de base des primitives

Pour trouver les primitives, vous devez connaître plusieurs règles de base. Ce sont les mêmes que les règles des produits dérivés mais en sens inverse.

• Règle de puissance

La règle est l'une des règles les plus simples et les plus fréquemment utilisées pour trouver des primitives. Il s'applique aux fonctions de la forme f(x) = xn, où n est un nombre réel sauf -1.

Cela peut être énoncé comme suit :

∫xn =xn+1/ n+1 + C (pour n ≠ -1)

Clarifions cette règle avec un exemple.

Exemple

Trouver la primitive de f(x) = x3

Solution

Ainsi, la fonction fournie est sous la forme de xn. C'est pourquoi nous appliquons la règle de puissance pour résoudre ce problème.

∫x3dx = x3+1/ 3+1 = x4 / 4 + C.

• Règle multiple constante

La règle des constantes stipule que si une fonction est multipliée par une constante, la primitive de la fonction est la constante multipliée par la primitive de la fonction.

On voit que la forme théorique de cette règle est un peu difficile à comprendre. Rendons-le facile à comprendre à l'aide d'une forme mathématique et d'exemples. Cela peut être exprimé comme suit :

∫ c.f(x)dx = c. ∫ f(x)dx

Exemple

Localisez la primitive de f(x) = 5x2

Solution

En utilisant les règles multiples constantes, nous avons :

∫5x2dx = 5∫x2dx

Utilisez maintenant la règle de puissance :

5∫x2dx = 5x3 / 3 + C 

• Règle de somme/différence

Cela vous permet de trouver la primitive d'une somme ou d'une différence de fonctions en intégrant chaque fonction séparément. Cette règle est représentée comme suit :

∫(f(x) ± g (x)) dx = ∫f(x)dx ± ∫ g(x)dx

Exemple 

Trouver la primitive de f(x) = x2 +3x – 4 

Solution

Application de la règle de la somme et de la différence :

∫ (x2 +3x – 4) dx = ∫x2 dx+∫3x dx−∫4dx 

Utiliser la règle de puissance pour chacun

∫x2 dx = x3 / 3 + C

∫3x dx = 3x2 / 2 + C

∫4dx = 4x 

La primitive est donc :

x3 / 3 + 3x2 / 2 – 4x + C

Comprendre les règles derrière la primitive est crucial. Si jamais vous êtes bloqué, vous pouvez utiliser le Calculateur de Primitive pour vérifier votre travail.

Tableau de quelques primitives courantes

Ce tableau aidera à mémoriser les primitives des fonctions communes, telles qu'elles apparaissent fréquemment dans divers problèmes. 

Méthodes pour trouver des primitives

Dans les sections ci-dessus, nous avons expliqué quelques règles de base et dérivées courantes de fonctions qui couvrent de nombreuses fonctions simples. Cependant, les fonctions complexes nécessitent souvent des techniques avancées pour trouver leurs primitives.

C'est pourquoi nous devons comprendre les méthodes avancées pour résoudre ces types de fonctions. Nous aborderons ici deux méthodes avancées : la substitution et l'intégration par parties. 

• Méthode de substitution

La méthode de substitution est utile lorsqu'il s'agit de fonctions composites ou lorsque l'intégrande (la fonction intégrée) n'est pas facilement résoluble dans sa forme actuelle. L'idée derrière la substitution est de simplifier l'intégrande en introduisant une nouvelle variable.

Comment trouver des primitives par méthode de substitution ?

Supposons que nous ayons une fonction 2x √ (x2+ 1) dx. Pour trouver la primitive de ceci, nous suivons les étapes ci-dessous :

Solution

• Choisissez un remplacement : Soit u = x2 + 1

• Trouvez-vous : Différenciez-vous pour x, 

 du/dx (x2 + 1) = 2x

tu = 2xdx

• Remplacez u et du dans l'intégrale

2x √ (x2+ 1) dx = ∫√tu toi 

• Utilisez la règle de puissance pour intégrer par rapport à u.

∫√tu tu = toi ½ tu = toi3/2 / 3/2 = 2/ 3 (en3/2) + C

• Remplace-toi par x2 + 1.

2/3 (x2+ 1)3/2 +C.

• Intégration par parties

Il s'agit d'une autre méthode courante pour résoudre des fonctions complexes. Il est particulièrement utile pour intégrer des produits de fonctions. Cette méthode est basée sur la règle de différenciation des produits.

La formule d'intégration par parties est :

∫ udv = uv - ∫ vdu

Exemple pour trouver l'intégration primitive par parties

Trouvez la primitive de ∫x. exdx

Solution:

 Pour résoudre ce problème, suivez les étapes ci-dessous :

1. Choisissez-vous et dv

Soient u = x et dv = ex

Donc, du = = dx et v = ex

1. Remplacer dans la formule d'intégration par parties :

voiturex - ∫ etxdx

1. L'intégrale restante est ∫ etxdx = ex + C, donc :

voiturex - ex + C = ex (x-1) + C

Conclusion

Trouver les primitives est une compétence fondamentale en calcul qui ouvre la porte à la résolution d'un large éventail de problèmes. En maîtrisant les règles et méthodes de base, vous serez en mesure de résoudre des problèmes aussi bien simples que complexes. Avec une pratique et une étude constantes, vous constaterez que l'intégration de fonctions est plus simple.